図１ 直交しないベクトル空間 図２ Ｒ３で直交するベクトル空間の例
Ｑ２： それだけ？
Ａ２： しかし、これがいろいろと難癖がある。だから、線形代数がある。また、代数といいながらベクトルや空間なんか使って幾何学的に考えるのも慣れが必要。言葉の意味（定義）に早く慣れることも大切。「この言い方はむかつく」といっても始まらない。
Ｑ３： どんな癖？
Ａ３： 簡単な例を考えてみる。各自、次の連立方程式を解いて下さい。
（例１）
| u + 2v = 1 唯一の解がある |
| 2u - v = 0 |
| u + 0.5v = 1 解けない（不能）。０＝（零でない値）となる |
| 2u + v = -1 ２本の方程式の左辺の関係に注目！ |
| u + 0.5v = 1 解けるが、解が沢山ある（不定） |
| 2u + v = 2 例２と何が違う？（零でない値）の部分が０となる。これ |
| は右辺がある条件を満たしているから。どんな条件？ |
| u + 2v = 1 さて、解けるかな？ ３本の方程式を満たす解はない。 |
| 3u - v = -1 そこで、誤差を最小にする解を求める（→３章まで待つ） |
| -u + v = 2 |
| u + 2v - w = 1 未知数の数＞方程式の数だから不定解？その通り。 |
| 2u + v + 2w = -1 |
| u + 2v - w = 1 未知数の数＞方程式の数だから不定解？その通り？？ |
| 2u + 4v - 2w = -1 |
(1)ｍ＞ｎ 不能解、唯一の解、不定解
(2)ｍ＝ｎ 不能解、唯一の解、不定解
(3)ｍ＜ｎ 不能解、不定解いずれの解になるかは、方程式をＡｘ＝ｂと表したとき、行列Ａとベクトルｂの性質に依存する。
Ｑ４： Ａの性質とは？
Ａ４： Ａはｍ行ｎ列の行列である。ｍ＞ｎの時は列ベクトルが線形独立であるか？ｍ＜ｎの時は行ベクトルが線形独立であるか？ｍ＝ｎの時は列ベクトル及び行ベクトルが線形独立であるか？がポイント。
Ｑ５： ｂの性質とは？
Ａ５： Ａｘ＝ｂを満たすｘが存在するということは、ベクトルｂが行列Ａの列ベクトルの線形（１次）結合で表されることになる。このとき、「ｂは列ベクトルの張る空間（Ａの列空間）にある」という。方程式の形やＡの性質がどんな場合でも、ｂがＡの列空間にあれば唯一の解、または不定解がある。
Ｑ６： ベクトルが線形独立／従属とは？
Ａ６： ベクトルｘ、ｙ、ｚを考える。一つのベクトルが他のベクトルの線形和（ｘ＝ａｙ＋ｂｚ、ａ，ｂは定数）で表されるとき、これらのベクトルは線形従属である。そうでないときは、線形独立である。
もう少し厳密にいうと「ａｘ＋ｂｙ＋ｃｚ＝０がａ＝ｂ＝ｃ＝０のときのみ成り立つとき、ｘ，ｙ，ｚは線形独立であり、ａ＝ｂ＝ｃ＝０以外で常識が成り立つときは線形従属である。」
Ｑ７： 方程式が線形従属とはどんなこと？
Ａ７： （例２、３、６）の左辺がこれに相当する。第１式の左辺を２倍すると第２式の左辺になる。一般的には、左辺に関して、ある式が他の式を何倍かして加算することにより求められる場合が、線形従属である。こういった関係にない場合には、線形独立。
これは、左辺の係数よりなるベクトルを考えると、ベクトルの線形独立／従属と同じである。
Ｑ８： 連立方程式の次元が高いとき、線形従属かどうかを見分けるのは難儀する。何かいい方法は？
Ａ８： Ｇａｕｓｓの前進消去を行ったとき、左辺の係数が全て零になる方程式が一つでも発生したら線形従属である。逆に、このようなことがなければ線形独立である。
Ｑ９：高校でも連立方程式はやった。何が違うの？
Ａ９：連立方程式の規模によらない、解法や解析方法を勉強する。
･実際に出くわす連立方程式は規模が大きい。
･２元や３元連立方程式なら解けるが、それ以上は解けない、ではちょっと、ちょっと。
･より一般的に物事を扱うのが数学的なやり方。これは、どんな分野でも大切。
モデル化→解析→法則性を見つける
＃話しがややこしくなってきましたが、要するに「サイズにはこだわらない」ということです。
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Ｑ11： 「線形独立なベクトルの数で決まる」とはどういうこと？
Ａ11： 空間 に分布する任意のベクトルは 基底 と呼ばれるベクトル集合の線形（１次）結合で表される。この基底ベクトルの数が空間の次元を決める。例えば、３次元空間で２個の重ならない（線形独立な）ベクトルの線形結合で表されるベクトルは平面上に分布する。この平面が部分空間で、この次元はベクトルの個数２，即ち２次元です。このとき、「２個のベクトルは平面を張る」といいます。
２本の重ならない鉛筆の上に下敷き（平面）を載せることができますが、１本、または３本の鉛筆の上には下敷きを載せることはできません。
Ｑ12： さっきから、「空間」という言葉がよく出てきますが、これって何んすか？
Ａ12： 単に「空間」ともいいますが、「ベクトル空間」のことです。ベクトル空間とはベクトルの線形演算（定数倍と加算）に関して閉じている集合です。
Ｑ13： 「閉じている集合」？ますます分かんねーよ。おれって頭悪いのかな？
Ａ13： そう心配することはない（でも、ちょっと心配）。今、あるベクトルの集まりΩ（オームではなくオメガと読む）を考える。この中にある（イ）「任意のベクトルｘ、ｙに対して、ａｘ＋ｂｙ、（ａ，ｂは任意の定数）もΩに含まれる」とき、Ωはベクトル空間である。この「含まれる」ことを「閉じている」という。
全空間（Ｒｎ）は当然ベクトル空間である。全空間のある部分に着目したとき、上記（イ）の条件を満たす場合は「部分空間」となる。「空間」＝「ベクトル空間」であることに注意する。
さて、この空間（全、部分とも）にある（ロ）「任意のベクトルはある有限個のベクトルの線形結合で表される」。
Ｑ14： この当たりがいまいちシャキーンとしねーんだよなあ。
Ａ14： （イ）の条件と （ロ）の条件が実は同じことであるという点が、空間の次元を理解する上でポイントです。
Ｑ15： そうそう、ここ、ここ！！おれって、頭いいのかなあ！
Ａ15： なかなかセンスがいいですね。
まず、（ロ）→（イ）を証明しよう。（ロ）より、あるベクトル集合Ωの全てのベクトルが線形独立なベクトルｕ，ｖの線形結合で表されるとする。このとき、２つのベクトルｘ＝ａｕ＋ｂｖ、ｙ＝ｃｕ＋ｄｖに対する線形演算ｅｘ＋ｆｙは（ｅａ＋ｆｃ）ｕ＋（ｅｂ＋ｆｄ）ｖとなり、やはりｕ，ｖの線形結合で表されるから、この集合Ωに含まれる。従って、（イ）を満たしている（ａ〜ｆは定数）。
次に、（イ）→（ロ）を証明しよう。Ωの２つのベクトルがｘ＝ａｒ＋ｂｕ、ｙ＝ｃｖ＋ｄｗと表され、ｒ，ｕ及びｖ，ｗは線形独立であり、ｒ（またはｕ）はｖ，ｗの線形結合では表せないとする（ｒ，ｕのうち少なくとも１つはｖ、ｗに対して線形独立）。このとき、ｚ＝ｅｘ＋ｆｙはｇｒ＋ｈｖ＋ｉｗとなる（ａ〜ｉは定数）。ｚもΩに含まれるから、Ωのベクトルを表すのに３個の線形独立なベクトルが必要となる。これを繰り返すと、線形独立なベクトルが増えて行く。しかし、「ｎ次元ベクトルの線形独立なベクトルの数は高々ｎ個である（
説明
）」から、ｎ個で頭打ちになる。
一方、ｎ個のｎ次元ベクトルの線形結合で表されるベクトルが分布する空間は全空間（Ｒｎ）である。従って、部分空間のベクトルはｎ未満の線形独立なベクトルの線形結合で表される。この数をｍとすると、上のベクトルｘ、ｙ、ｚはいずれもｍ個の線形独立なベクトルで表される。このｍが「空間の次元」である。同時に、このｍは空間の大きさ（広さ）を表している。
ある空間にある任意のベクトルがｍ個の線形独立なベクトルの線形和で表されるとき、その空間はこれら「ｍ個のベクトルで張られる空間」であるという。（説明が長くなった、ごめんなさい）。
Ｑ16： ウーム。後半の証明は、要するに、Ｒｎの部分空間を考えたとき、その空間のベクトルは全てｍ（＜ｎ）個の線形独立なベクトルで表される。そうでなければ、（イ）の条件より、空間の次元はどんどん上がっていき、最後は全空間まで行きつく。そうなれば、部分空間ではなくなる。それは困るので、部分空間にはその中の全てのベクトルを表せるｍ（＜ｎ）個の線形独立なベクトルがあるはず、ということですね。
Ａ16： その通り！君って見かけによらず鋭いね。そのｍ個のベクトルのことを「 基底
」と呼んでいる。
Ｑ17： だけど、「ｎ次元ベクトルの線形独立なベクトルの数は高々ｎ個である」ってのが、よく分からねーや。
Ａ17： ３次元ベクトルで説明しよう。まず、次のベクトルを考える、
ｅ１＝（１，０，０）、ｅ２＝（０，１，０）、ｅ３＝（０，０，１）これらのベクトルは互いに直交し、長さが１であるので「単位ベクトル」と呼ばれる。要するに、３次元空間の座標軸を表している。
ａ＝（ａ１，ａ２，ａ３）とすると、
ａ＝ａ１ｅ１＋ａ２ｅ２＋ａ３ｅ３と表される。ａ１，ａ２，ａ３はａの要素であり、零以外の値を取り得るので、 ベクトルの線形独立の条件より、｛ａ、ｅ１、ｅ２、ｅ３｝は線形従属となる。このことはｅ１、ｅ２、ｅ３以外の線形独立なベクトルを用いても同様に成り立つ。
Ｑ18： ベクトルが直交するとは？
Ａ18： （少し疲れてきた）。２次元、３次元でいえば「直角に交わるベクトル」といえる。代数的にいうと、「ベクトルの内積が零」ということ。（ベクトルａ，ｂの内積）＝ａＴｂ、Ｔは転置を表す。（横ベクトルｘ縦ベクトル＝スカラー）。また、「直交するベクトルは互いに線形独立である」、しかし逆は必ずしも成り立たない。
ベクトルａとｂが直交している場合、ａはｂの成分を全く含まない、ｂもまたしかり。２次元で直交するｘ軸、ｙ軸を考えたとき、ｘ軸上ではｙ＝０、ｙ軸上ではｘ＝０となり、相手の成分はない！赤の他人です。これに対して、線形独立なベクトルは相手の成分を含んでもよい。
Ｑ19： ベクトルの長さとは？
Ａ19： （こいつ、しつこいな）。例えば、ベクトルａ＝（ａ１，ａ２，ａ３）の長さとは、（ａ１２＋ａ２２＋ａ３２）１／２である。３次元までは視覚的に分かるがそれ以上は分かりにくい。しかし、１次元から始めて次元を１つ増やしながら、ピタゴラスの定理（これを知らないとは言わせない）を繰り替えし使えば、上式の一般形が得られ、なんとなく長さを表しているらしいことが分かる。分かるよね、君！
Ｑ20： （念を押されると、分からないといえない雰囲気になってきたな、ヤベエ）。あと一つだけ教えて下さい。「基底」って何ですか？
Ａ20： （こいつ、人の話聞いてんのか？）。基底とはベクトル空間の任意のベクトルを表すのに用いられる線形独立なベクトルです。例えば、ａ＝（−３，２）を表すのに、ｅ１＝（１，０），ｅ２＝（０，１）を用いると、
ａ＝−３ｅ１＋２ｅ２しかし、ｅ=(1,-1)を加えても、
ａ＝−ｅ−２ｅ１＋ｅ２と表される。このとき、｛ｅ１、ｅ２｝と｛ｅ、ｅ１、ｅ２｝は両方とも基底かな？前者は基底であるが、後者は基底ではない。違いが分かるかな？ポイントは、｛ｅ、ｅ１、ｅ２｝はもはや線形独立ではないということ。
Ｑ21： （違いが分かるほど年食ってねえっての！）。エ、エー、まあ！なんとか。要するに、欲張っちゃいけないということですよね。（今日はこのぐらいにして、バイト行こ〜と）。
Ａ21： そうそう、相変わらず鋭いね。（やっとこっちの気持ちが分かったようだな。やれやれ）。
Ｑ22： （ピボットって、なんっだたっけ？？）。
Ａ22： エ！なんか言った？
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Ｑ24： あの〜、ピボットって何ですか？
Ａ24： （今頃、ピボットとは、なかなかいい度胸してるな）。まず、ガウスの前進消去で現れる対角要素（階段形の上三角行列の場合はずれる）ですね。この値を使って、同じ列の下にある要素を零にしていきます。
Ｑ25： それだけのことですか？
Ａ25： いやいや、そうではない。連立方程式や（係数）行列の性質を表すパラメータとして、いろいろなものがあるが、ピボットもその１つです。正方行列を考えたとき、ガウスの前進消去において、対角要素が零になる（行や列の入れ替えを行っても）場合は、連立方程式や行（列）ベクトルは線形従属になります。また、ピボットが非常に小さい場合は、線形従属ではないがそれに近い状態にあります。この場合は、計算誤差が増幅され正しい答えが求まりません。
階数も行列の真の大きさを表す重要なパラメータですが、これは零でないピボットの数と同じです。更に、零でないピボットの値のばらつきを見ることで、行列の素性が分かります。この当たりは、ちょっと範囲外かな？
Ｑ26： （素性が分かる？いやな言葉だ！）エ〜と、Ａの零空間ってのが、いまいちなんですが。
Ａ26： Ａの行（列）空間は行（列）ベクトルで張られる空間であり、直感的に分かりますが、零空間はちょっと捉えどくろがないですね。しかし、これらは相補う関係にあります。
Ｑ27： （相補う？おれは誰と？？）。エ〜と、もう少し、詳しくお願いします。
Ａ27： 簡単のために、ｎｘｎ行列で考えます。ｎ個の行（列）ベクトルが線形独立であれば、Ａは逆行列Ａ−１を持ち、Ａｘ＝０はｘ＝０の解しか持たない。即ち、Ａの零空間は原点のみです。一方、行（列）空間はｎ次元空間になります。
しかし、ｎ個のベクトルのうち、ｒ個のみが線形独立であるとすると、行（列）空間はｒ次元に縮退します。一方、Ａｘ＝０の解はｎ−ｒ個の自由変数を持ち、ｎ−ｒ個のベクトルの線形結合で表される。即ち、Ａの零空間はｒ次元空間になります。要するに、Ａの行（列）空間が縮んだ分だけ零空間が広がっています。これが、相補な関係です。分かりましたか？
Ｑ28： ホ〜！よく分かりました。要するに、俺の点数が減った分、誰かの点数が上がっているということですね。（こりゃ！うかうかしてられないや！他の奴らも遊びに誘わなきゃ！）。
Ａ28： 。。。。。。
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Ｓ30： 突然ですが、逆行列って何ですか？（俺みたいに世の中に逆らえないタイプは、この「逆」ってのが苦手なんだなあ）。
Ｔ30： ある行列Ａに対して、BA=I、ＡＣ＝Ｉ（Ｉ は単位行列）を満たす行列Ｂ、Ｃをそれぞれ左逆行列、右逆行列という。
Ｓ31： あの〜、そういう形式的なことじゃなくて、中身をズバリお願いします。
Ｔ31：（こいつ、見かけによらず中身にこだわるな）。そうだね、もっと中を覗いてみよう。
簡単のために、Ａをｎｘｎの正方行列として、その列ベクトルをａ1ａ2･･ａnとし、これらは全て線形独立であるとする。即ち、階数がｎであるとする。左逆行列
ＢＡ＝Ｉ ･･･(1)
の場合を考える。Ｂの行ベクトルをｂ1ｂ2･･ｂnとする。式(1)はｂｉとａｋの内積を用いて次のように表される。
ｂｉTａｋ ＝１（i=k） ･･･(2a)
＝０（ｉ≠ｋ） ･･･(2b)Tは転置を表す。式(2b)はｂｉがａｋ（ｉ≠ｋ）と全て直交することを意味している。
Ｓ32： へ〜！世の中って、素っ気ないものですね。（そういえば、俺もよく仲間外れにされるな。俺の知らないところで、悪いことやってんだ、きっと）。
Ｔ32：しかし、ｂｉはａｉとは情報を共有している。ｂｉはａｉとは直交できない。分かるかね。
Ｓ33： （おっと！来たね）。エ〜、まあ、あの〜〜、例えば、２次元のベクトルは平面までしか張れない。（そうだよな、座標が２つしかないんだから）もし、線形独立な２次元ベクトルが３個あったとすると、これらは３次元空間を張ることになるのでおかしい。（何がおかしいのかな？）。
Ｔ33： そうそう、よく分かっているね。更に、ａｉとｂｉは長さに関しては逆の関係にあります。即ち、ａｉが大きいとｂｉは小さい、あるいはその逆になっている。
Ｓ34： まだ、ぼや〜としてるんですが。
Ｔ34： （いつものことじゃないのか）。ｂｉの方向はｎ−１個のベクトルａｋ（ｉ≠ｋ）が張る空間に直交するように決まり、その大きさはａｉの長さから決まる。このようなベクトルは一通りしかない。
Ｓ35： はあ。
Ｔ35： もう少し、別の見方をするとこうなる。Ａの列ベクトルは必ずしも直交しているとは限らないし、長さもまちまちです。ところが，Ｂをかけると見事に正規直交系に変換されてしまう。単位行列の列ベクトル（行ベクトル）は単位ベクトル（例：ｅ３=（0,0,1,0,0））で、なじみのあるｘ，ｙ，ｚ座標系に相当している。
ベクトルに行列をかけて新しいベクトルを作ることを線形変換という。一般的には、線形独立なベクトルの組は必ず正規直交系に線形変換できる。
Ｓ36： 要するに、曲がった根性をたたき直す、ということですね。（ヤベエ！説教が始まる前に、ずらかろう）。有り難うございました。
Ｔ36： （今年の梅雨は実にうっとうしいなあ）。
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Ｓ38： ｎ次元ベクトルの長さって何ですか？４次元以上になるとかいもく分からないんですけど。（おれって、単純すぎるのかなあ？まあ、純真な方がいいがや）。
Ｔ38： そうですね、まず、３次元ベクトルで考えてみましょう。ベクトルを
ａ＝（ａ１，ａ２，ａ３）とします。座標を正規直交系で考えます。即ち、各座標は
ｅ１＝（１,０,０），ｅ２＝（０,１,０），ｅ３＝（０,０,１）で表され、
ａ＝ａ１ｅ１＋ａ２ｅ２＋ａ３ｅ３となる。座標の各成分がａ１，ａ２，ａ３になります。ｅ１，ｅ２，ｅ３のなす角度が互いに９０度（直交）であることは分かりますね。
Ｓ39： この当たりは、難なくクリアです。
Ｔ39： まず、
ｂ＝ａ１ｅ１＋ａ２ｅ２の長さを求める。ｅ１、ｅ２の角度は９０度（直交）であるから、ピタゴラスの定理よりこの長さは
||ｂ||＝（ａ１２＋ａ２２）１／２となる。ｂとａ３ｅ３の角度はやはり９０度（直交）であるから、ａの長さはｂとａ３ｅ３に対してピタゴラスの定理を適用することにより求まる。
||ａ||＝｛||ｂ||２＋ａ３２｝１／２＝（ａ１２＋ａ２２＋ａ３２）１／２Ｓ40： ここまでは分かります！しかし、４次元以上になると、とたんに分からない。
Ｓ41： エッ！なんすか？？
Ｔ41： ａの長さを考えるときにｂとａ３ｅ３のみを考え、かつこれらが直交しているという点です。一般に
ｂ＝（＊，＊，０） ＊は零も含む任意の値
ａ３ｅ３＝（０，０，＊）と表されます。これらの関係は、ｂ＝（＊，０）、ａ３ｅ３＝（０，＊）と同じです。即ち、第１、第２要素をひとまとめにしても直交しているという関係は変わりません。こうやってみると、ｂとａ３ｅ３で張られる空間（２次元平面）上でこれらを合成してａを作ることになります。
Ｓ42： ははーん。要するに２つのベクトルだけを見ろ、ということですね。
Ｔ42： これを繰り返せば、一般のｎ次元ベクトルの長さは次のようになる。
||ａ||＝（ａ１２＋ａ２２＋．．＋ａｎ２）１／２ ･･･(1)Ｓ43： 直交する、という点をもう少し具体的に分かりやすくお願いします。
(i) ａ，ｂのなす角度が９０度である。
(ii) ａ，ｂの内積が零である。
(iii) ||ａ＋ｂ||２＝||ａ||２＋||ｂ||２ ピタゴラスの定理が成り立つ。
(iv) ａとｂは互いに相手方向の成分を持っていない。ベクトルの長さの定義式（１）を用いれば、(ii)と(iii)が等価なことは容易に分かる。分かるね！
Ｓ44： エッ！エ〜まあ。（あぶねえなあ、今日は寝不足だってのに！）。
Ｔ44： (i)のなす角度が９０度というのは、ｎ次元の場合は分かりにくいですね。そこで、次のように考えてみましょう。ａ，ｂの張る空間を考えます。ａ，ｂがｎ次元（ｎ＞２）でもこの空間は２次元平面になりますね。今、この平面だけを考えるますが、ａ，ｂの関係を調べるのに一般性を失っていない。
２次元平面はｅ１＝（１，０）、ｅ２＝（０，１）で張られる。ａ，ｂはｅ１、ｅ２方向の成分により、次のように表される。
ａ＝（ａ１，ａ２） ･･･(2a)
ｂ＝（ｂ１，ｂ２） ･･･(2b)こうなれば、(i)〜(iv)の関係は簡単に分かるね！
Ｓ45： ｚｚｚ（おっと、まぶたが。重くなってきた）。ふあ〜あ！あ！
Ｔ45： （目あけて寝てんのか？こいつ！）。このように、ａ，ｂの張る平面上で考えれば、２次元ベクトルに帰着できるので分かりやすい。
Ｓ46： 「互いに相手方向の成分を持っていない」、ここがイマイチなんですけど。
Ｔ46： （起きてたのか？）。「ａ，ｂの内積が零ならば、ａ，ｂは互いに相手方向の成分を持っていない」ことを示そう。ａ，ｂは式(2a)、(2b)とする。
ａと直交する（内積＝０）ベクトルｃを考える。ａ，ｂが張る平面はａ，ｃでも張ることができる。今、ｂがａ方向の成分を持っているとする。即ち、ｂを次のように表す。
ｂ＝ｒａ＋ｓｃ、（ｒ，ｓはスカラの定数）
ａとｂの内積は零であるから、
ａＴｂ＝ａＴ（ｒａ＋ｓｃ）＝ｒａＴａ＋ｓａＴｃ＝０
しかし、ａＴａ≠０、ａＴｃ＝０であるから、ｒ＝０となる。従って、ｂはａ方向の成分を持っていないことになる。
Ｓ47： なんとなく、分かるんですが。。。ウーム。
Ｔ47： こんな風にも考えられます。ａとｂを同じだけ回転し、ａをｅ１＝（１，０）方向に一致させ、ａ’＝（＊，０）（＊は零を含む任意の数）とする。このときのｂはｂ’に変化するとする。ａ，ｂの角度とａ’，ｂ’の角度は同じである。ａ’との内積が零になるｂ’は（０，＊）の形しかない。即ち、ａ’とｂ’は同じ成分を持っていないことが分かる。
Ｓ48： 今度はちょっぴり分かりました。所で、こういう話しって、おれの将来にどう影響するんですか？
Ｔ48： 電気情報の世界で飯を食っていこうと思ったら、データ解析等いろいろな所で出くわすよ。前にも言いましたが、数学のモデルを使って現象やシステムの動作を理論的に解析する、ということは結構重要だよ。具体的には、コンピュータシミュレーションで確かめる場面も多い。
Ｓ49： へ〜！いろいろ使うんだ（おれも、ゲームではコンピュータ（だよな）を結構使いこんでるけど、飯食ってけるかなあ？不安だなあ）。
Ｔ49： （今日はウインブルドンだな）。
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Ｓ51： 「ベクトル空間が直交する」というのが、イマイチなんですけど。部分空間として図１のようにＲ３における平面Ｖ，Ｗを考えたとき、これらが垂直に交差していれば、直交していることにならないんすか？
Ｔ51： ベクトル空間というのは、ある形の空間があるのではなく、あくまでも「ベクトルの集合（＊１）」と考えて下さい。従って、空間Ｖ，Ｗが直交するというのは、ベクトル集合Ｖ，Ｗが直交することであり、「Ｖ，Ｗに含まれる全てのベクトルが互いに直交する」ことを意味します。図２がＲ３で直交する部分空間の例です。
（＊１）ベクトルｖ，ｗがあるベクトル空間にあるとき、ａｖ＋ｂｗ（ａ，ｂはスカラ）もまたこの空間にある。
図１ 直交しないベクトル空間 図２ Ｒ３で直交するベクトル空間の例
Ｓ52： は〜あ、要するにベクトル空間の形にこだわるな、ということですね。分かりました。
それから、行列Ａの行空間と零空間が直交する、というのはすぐに分かるのですが、これらが直交補空間をなすという点がイマイチなんですけど。
Ｔ52： （「イマイチ」しか知らないのか）。なかなか、いい質問ですね。
Ｓ52： （おれって、やっぱ、質問のセンスいいんだ！）。
Ｔ52： まず、ｎ次元空間Ｒｎを考える。１つの 基底 をｖ１〜ｖｎとする。ｖ１〜ｖｋとｖｋ＋１〜ｖｎで張られる部分空間を各々Ｖ１，Ｖ２とする。このとき、Ｒｎの全てのベクトルがＶ１とＶ２に分けられるでしょうか？即ち、図３のようになるでしょうか？
図中のＲｎ、Ｖ１，Ｖ２はＲｎ、Ｖ１，Ｖ２の意味
図３ ベクトルの集合として分離 図４ 基底の集合として分離
Ｓ53： （おっと、早くも来たね！ウーム．．．）。た、た、たぶん、そうなると思います。
Ｔ53： 実に、頼りない返事だね。ベクトル空間の”補空間”は集合の”補集合”とはちょっと意味が違います。即ち、「Ｒｎの全てのベクトルはＶ１，Ｖ２のいずれかに含まれる」という意味ではありません。言い換えると、Ｒｎのベクトルでも、Ｖ１，Ｖ２には含まれないベクトルがあります。例えば、Ｒｎの基底ｖ１〜ｖｎの線形結合で表されるベクトルはＶ１，Ｖ２には含まれない。
Ｓ53： はあ、はあ、（補集合もよく分からないけど）、「補空間はベクトル集合を分ける空間ではない」ということですね。
Ｔ53： そうそう、なかなか感ががいいね。 基底 に関して”補集合”になっていると考えた方がよいでしょう。
Ｖ１，Ｖ２は共通ベクトルとしては零ベクトルのみを有し、これらのベクトルを合わせてもＲｎにはならない。式で表すと次のようになる。
（Ｖ１，Ｖ２に含まれるベクトルに着目したとき）
Ｖ１のベクトル∩Ｖ２のベクトル＝零ベクトル ･･･(1a)
Ｖ１のベクトル∪Ｖ２のベクトル＜Ｒｎのベクトル ･･･(1b)しかし、基底に着目すると、次のようになる。
Ｖ１の基底∩Ｖ２の基底＝空集合 ･･･(2a)
Ｖ１の基底∪Ｖ２の基底＝Ｒｎの基底 ･･･(2b)Ｓ54： はは〜ん、少し分かってきました。所で、話し戻しますが、行空間と零空間が直交補空間とは？
Ｓ55： そうですね。（少し、よたよたしてきた）。
Ｔ55： まず、行空間と零空間は直交しているから式(2a)が成り立つ。次に、行列Ａをｍｘｎとする。このとき、行ベクトルも零ベクトルもｎ次元である。行空間の次元は階数ｒであり、零空間の次元はＡｘ＝０における自由変数の数＝ｎ−ｒである。行空間の基底をａ１〜ａｒ、零空間の基底をｘ１〜ｘｎ−ｒとすると、各々は線形独立であり、かつ｛ａｉ｝と｛ｘｊ｝は直交している。従って、これらを合わせたベクトル集合も線形独立になる。ベクトルの個数は合計ｎ個であるから、ｎ次元を張る。即ち、式(2b)が成り立つ。
（例）
ａ１＝（１，０，０，０）、ａ２＝（１，１，０，０） は線形独立（直交していない）
ｘ１＝（０，０，１，０）、ｘ２＝（０，０，１，−１） は線形独立（直交していない）
ａ１，ａ２とｘ１，ｘ２は互いに直交している。
Ｓ56： は、は、はあ。要するに、行空間の次元が減った分、零空間の次元が増え、その和は常にｎ次元である。また、２つの空間（の基底）は直交しているから、これらの基底を合わせたベクトル集合はｎ次元空間の基底になる、ということですね。
Ｔ56： すばらしい！（頭がいいのか悪いのかイマイチつかみ所のないやつだ）。
Ｓ57： 最後にもう一つお願いします。それでは、図３のようにＲｎの全てのベクトルを２つの空間に分けることはできないのですか？
Ｔ57： 実に素朴でいい質問だね。
Ｓ58： （おれは、どうせ素朴で純な人間だよ、フン！）。
Ｔ58： 要するに、Ｒｎの全てのベクトルがある部分空間Ｖ１とＶ２のいずれかに属するようにベクトル空間を分けられるか？という質問ですね。答えから先に言いますと、「それはできない」ということになります。Ｒｎの任意のベクトルはｖ１〜ｖｎの線形結合で表されます。このベクトルが空間Ｖ１（Ｖ２）に含まれるとすると、この空間の基底はｖ１〜ｖｎになり、全空間Ｒｎと同じになってしまう。更に、Ｖ１とＶ２が同じベクトルを基底として持つ場合は零でない共通のベクトルを含むことになる。
図２の例では、直線Ｖと平面Ｗの共通ベクトルは零ベクトルのみで、これらの基底の和はＲ３の基底と同じになります。しかし、Ｖ，Ｗのいずれにも含まれないＲ３のベクトルがあることは容易に分かる、ね！。
Ｓ59： は、は、はい。分かります。
所で、どうでもいいんですけど、図にちょっとゴミが見えるんですけど。
Ｔ59： ごめん、HTMLに張り付けられる図はJPGかGIFファイルなのですが、今回はビットマップからの変換でJPGファイルを作っています。メモリ容量を減らすために、ちょっと品質を下げています。他の作図ソフト／変換ソフトを使えばもっときれいになります。
Ｓ60： は〜あ、要するに先生は技術的にまだ未熟だと言うことですか？
Ｔ60： ウムムム．．．他に質問は！！
Ｓ61： ありません、有り難うございました！（ヤベエ、定期試験はお手柔らかに！）。
Ｔ61： （おっと、投票に行かなきゃ！明日は４時起きか）。
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Ｓ63： 今学期、最後の質問をお願いします。いろいろ勉強してきたのですが、単刀直入に言って、大事なポイントって何ですか？
Ｔ63： （何処までも図々しい奴だな）。なかなかいい心構えだね。
Ｓ64： いえ、それほどでも（ほめられてんのかなあ？）。
Ｔ64： まず、第１に線形代数の基本は
「連立方程式Ａｘ＝ｂを解く」
ということですね。しかし、そのときにいろいろな形態がある（ ６／９を参照 ）。それを決めるポイントが
･未知数と方程式の数の関係
･方程式の線形独立／従属
･ｂの性質（Ａの列空間にある／ない）
その結果、連立方程式の解は
･一意解
･不定解
･不能解
となる。
第２には、「具体的に連立方程式を解く」ということですね。ここでは、ガウスの前進消去と後退代入が重要です。未知数や方程式の数が多くても、この方法を根気よく実行すれば解くことができます。
また、ベクトルの線形独立／従属性を調べたり、ベクトル空間を求めるときにも前進消去は必須です。
第３には、「ベクトルと行列の計算に慣れる」こと。加減算は対応する要素同士で計算すればよいが、積は違います。掛ける順番によって値が違います。また、ベクトルには内積（→スカラ）と外積（→行列）があるので要注意。
割り算になるともっと複雑ですね。「行列Ａで割る」というよりは「行列Ａの逆行列を掛ける」と考えた方がよい。逆行列はスカラの逆数と同じで「掛けて１（単位行列）になる」関係にある。但し、掛ける順番による違いはある。ＡＢ＝ＩまたはＢＡ＝ＩとなればＢはＡの右または左逆行列。逆行列の具体的な計算方法は教科書３４頁にあるＧａｓｓ−Ｊｏｒｄａｎ法を会得しておいて下さい。
「あるベクトルの逆ベクトルは？」という疑問も生まれますが、ベクトルは行列の特殊形なので、行列と同じに考えます。
Ｓ65： 第２章では、空間やら基底やら一般解やらなんやら、いろいろでてきてまとまりがつかないんですが。
Ｔ65： （まとまりが悪いのはおまえの脳味噌じゃないか？）。そうですね、いろいろな概念がでてきますから、整理して理解することが大切ですね。
Ｓ66： （おれの部屋はジャングルだけど）。お願いします。
Ｔ66： まず大切なことは、「表現が異なっても、内容は同じである」場合が多いという点です。また、同じことを代数的及び幾何学的に表現し、理解することも大切です。
第４に、「（ベクトル）空間とはベクトルの線形演算に関して閉じている空間である」ことをしっかり頭に入れて下さい。また、「空間を張るベクトルは線形独立である必要はない」、「基底とは空間を張るベクトルのうちで、線形独立なベクトルの組である」。
第５に、次の概念は全て同じであることを理解しておくこと。
･零でないピボットの数
･階数
･線形独立な行ベクトルの数
･線形独立な列ベクトルの数
･行空間の次元
･列空間の次元
同様な性質であるが、ｎｘｎ行列に関して次のことは同値である。
･行ベクトルが全て線形独立
･列ベクトルが全て線形独立
･階数がｎ
･ピボット（行の交換可）が零でない
･逆行列がある
第６に、「行列Ａ（ｍｘｎ）に関する４つの部分空間とこれらの関係」。関係とは、
･行空間（ｒ次元）と零空間（ｎ−ｒ次元）は直交補空間
･列空間（ｒ次元）と左零空間（ｍ−ｒ次元）は直交補空間
･行空間はＲｎにおけるｒ次元空間、列空間はＲｍにおけるｒ次元空間であり、これらの間の変換（ＡまたはＡＴによる写像）は１対１対応である。
計算テクニックとして、「これらの空間の具体的な求め方（１組の基底、または空間にあるベクトルの一般形を求める）」と会得しておくこと。
･Ｇａｕｓｓの前進消去→行列Ｕ→線形独立な行ベクトル／線形独立な列ベクトルの位置／基底変数＆自由変数。
（例）ベクトル（1 0 2 0 -1）、（0 0 2 0 -2）、（1 0 0 0 1）で張られる空間は何次元か？更に、この空間の直交補空間を求めよ（できるかな？）。
第７として、「Ｒｎを部分空間に分けるとは、基底を分ける」ことを意味する、即ち、Ｒｎに含まれる全てのベクトルをグループ分けするのではなく、「あるベクトルに着目したとき、その成分が部分空間に分かれる」と考える。
Ｓ67： 一気にいろいろなことを説明されたの、頭が破裂しそうなのですが、定期試験にはどんな問題がでるんですか？
Ｔ67： 練習問題や演習問題からはずれないと思います。
Ｓ68： あ、あ、そうですか、そうですよね。（ウ〜ム、勉強するしかないか、このくそ暑いのに！）。
Ｔ68： （さ〜て、試験問題作るとするか）。